🌱
长高了多少？
身高随时间慢慢增加。我们可以问：这个月长得快不快？
第一站 · 热身
生活里到处都是“变化”
微积分不是一堆奇怪符号，它是一副观察变化的眼镜。
🚲
现在骑多快？
路程一直改变。速度表显示的，就是“这一刻的变化速度”。
🪣
一共接了多少水？
把每一小会儿流进来的水加起来，就得到桶里的总水量。
第二站 · 极限
先玩一个“永远跳一半”的游戏
极限最重要的不是“到没到”，而是“还差多少”。
🐸 青蛙去荷叶
池塘宽 100 厘米。小青蛙每次都跳完剩下距离的一半。拖动滑块看看：它离荷叶还剩多少？
🐸
🪷
起点 0目标 100 厘米
已经跳了 0 厘米还差 100 厘米
🌟 每跳一次，剩下的距离都会减半。试着滑到 10 次。
🔍 把“一半游戏”搬到速度里
想知道蓝点那一刻的速度，我们先选稍晚一点的橙点，算两点之间的平均速度。再把橙点一次次移近，就像青蛙把剩余距离一次次减半。
平均速度：0
一句话记住极限：我也许没有“一步跳到答案”，但只要继续靠近，就能让差距小到你想要的程度。
第二站 · 导数
小球上坡时，“现在”有多快？
拖动时间。蓝点表示小球走过的路程，粉色小棒表示图线此刻有多陡。越陡，速度越快。
⚽ 速度侦探
注意：左图不是斜坡的形状，而是“时间—路程图”。没有动力的小球向上滚时会越来越慢，所以图线也会越来越平。
此刻速度约为 4.0 米/秒
第四站 · 积分
每一小会儿的路程，拼成总路程
这里横轴是时间、纵轴是速度。“速度 × 一小段时间”就是这一小会儿走过的路程。
🧱 路程建筑师
每块积木的面积是速度 × 时间＝路程。把所有小路程相加，就得到 6 秒内的总路程——这就是速度对时间的积分。
估算总路程约为 0 米
第五站 · 大秘密
导数拆开看，积分拼回去
它们像一对方向相反的数学工具。
从“总路程怎样变化”中，找出每一刻的速度。
路程 → 速度⇄
把每一小会儿走过的路程累加，重新得到总路程。
速度 → 路程⭐ 终点小挑战
1. 速度表显示“这一刻骑得多快”。它更像哪个概念？
2. 一辆车 3 小时内速度都是 20 千米/小时。速度—时间图下方的面积表示什么？
3. 把观察的两次时间挤得越来越近，是在使用什么想法？